Волгоградский государственный университет приглашает школьников принять участие в заочной математической олимпиаде.
Участвовать в ней может любой ученик любого класса. Не обязательно решать все задачи. Решение предлагаемых задач нужно до 15 октября прислать или принести в деканат ИМИТ Волгоградского государственного университета (400062, Волгоград, Университетский проспект, 100, ауд. 3-09А) для Зеновича Андрея Васильевича или прислать по адресу: 400137, г. Волгоград, ул. им. 8-й Воздушной Армии, д. 30, кв.1, Никитской Людмиле Борисовне, или прислать на электронный адрес nlb@live.ru. В работе укажите обратный адрес, имя и фамилию, школу, класс, телефон, e-mail (если есть). Справки по телефонам: 53-63-24 , 8-927-256-84-52.
- В трех кучках находится 22, 14 и 12 орехов. Требуется путем трех перекладываний уравнять число орехов в каждой кучке, соблюдая при этом условие: из любой кучки разрешается перекладывать в другую лишь столько орехов, сколько их в этой второй кучке.
- На уроке физкультуры весь класс построился в одну шеренгу. Сначала учитель велел рассчитаться на «первый, второй, третий» и каждый третий сделал шаг вперёд. По второй команде каждый пятый из оставшихся сделал шаг назад. После этого в строю осталось 16 человек. Сколько учеников могло быть в классе? Укажите все варианты.
- В тексте к каждому вопросу указаны 5 вариантов ответа. Отличник отвечает на все вопросы правильно. Если двоечнику удается списать, он отвечает правильно, в противном случае – наугад (то есть среди несписанных вопросов он правильно отвечает на часть). За год двоечник правильно ответил на половину вопросов. Какую долю ответов ему удалось списать?
- В 20-этажном доме испорчен лифт: он может либо подниматься на 8 этажей вверх, либо спускаться на 13 этажей вниз. Можно ли с помощью лифта попасть с 20 этажа на первый? (Когда сверху меньше 8 этажей, то лифт вверх не пойдет. Аналогично – вниз.)
- Делится ли на 9 число 11…1 + 22…2 + 33…3 + … + 99…9 (каждое слагаемое содержит 2015 цифр)?
- По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, …, 9 в произвольном порядке (каждая цифра встречается один раз). Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Чему равна сумма всех девяти таких чисел? Укажите все возможные варианты.
- Сумма трёх натуральных чисел равна 520. Может ли произведение этих трёх слагаемых оканчиваться:
а) ровно тремя нулями?
б) ровно четырьмя нулями?
в) на какое наибольшее число нулей может оканчиваться это произведение? - Найдите все простые натуральные числа p и q, для которых уравнение x2 + px + q = 100 имеет два целых корня.
- В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны три угла: A=60°, B=40°, С=120°. Известно также, что стороны CD и AD равны. Докажите, что ВС + СD = AB.
- Найти все целые n, при которых (19n+17)/(7n+11) - целое число.
- В квадрат К со стороной 1 вписан прямоугольник П площади 4/9. Может ли П быть квадратом? (Прямоугольник вписан в квадрат, если вершины прямоугольника лежат на сторонах квадрата).
- На плоскости нарисован отрезок длины 1. Необходимо циркулем и линейкой построить отрезок длины 1/6, при этом разрешается провести не более 9 линий (прямых и окружностей).